El Problema de Monty Hall: lógica y estadística

22/03/2020


Monty Hall Lets make a Deal

Hace unos días, publicábamos en nuestro Facebook un «Acertijo Corto Para Pensar En Casa» basado en un famoso dilema. En la publicación no os dijimos cuál, para no tentaros a buscar la respuesta. Aunque seguro que algunos de vosotros ya suponíais que nos referíamos al Problema de Monty Hall.

* Antes de seguir, os dejamos AQUÍ el enlace, por si queréis resolverlo primero y luego continuar leyendo *

En esta entrada, nos gustaría analizar un poco las posibles respuestas a este dilema. Pero antes, vamos a dedicar unas líneas a contaros quién es Monty Hall y por qué hay un problema estadístico con su nombre:

Monty Hall Lets make a Deal

Un presentador famoso

Monty Hall fue uno de los presentadores de televisión más famosos de EEUU. Presentó el programa Let’s make a deal durante casi 30 años (se podría decir que es algo así como el Jordi Hurtado estadounidense). En este programa, los concursantes tenían que elegir objetos que escondían premios muy diversos. Además, el presentador les ofrecía interesantes cantidades de dinero para hacer las elecciones más difíciles. Y, como prueba estrella, el gran premio tras la puerta:

Los concursantes tenían que escoger una puerta entre tres opciones y se quedaban con el premio que hubiera tras ella. Se sabía con seguridad que, tras una de las puertas, había un premio de alto valor. Tras las otras dos, había premios «mordaza» o, lo que es lo mismo, de escaso o nulo valor para los concursantes. A continuación, Monty abría una de las puertas menos interesantes y daba al concursante la opción de mantener su primera elección, o cambiar de puerta.

Problema de Monty Hall - 3 puertas

Un Problema también famoso

Esta premisa del premio tras la puerta fue utilizada por el estadista Steve Selvin para describir un problema de probabilidad que presentó a la revista Scientific American en el año 1975. Selvin decidió llamarlo «El Problema de Monty Hall» en honor al presentador y lo formuló de manera similar a esta:

En un concurso televisivo tenemos tres puertas cerradas. Detrás de una de ellas hay un coche, mientras que detrás de las otras dos, hay una cabra (en cada una). Después de que el concursante haga su elección y antes de comprobar si ha acertado, el presentador abre una de las puertas no elegidas en la que sabe con seguridad que hay una cabra. Entonces, pregunta al concursante si está seguro de querer abrir la puerta que había elegido anteriormente, o prefiere elegir otra. La cuestión es: «¿Que sería mejor para él?» 

 

Imagen extraída de ABC.es

Esta pregunta generó un intenso debate, pues parece que no hay coincidencia entre lo que nos dicta nuestro sentido común y lo que afirman las matemáticas. Pero, ¿por qué?

La respuesta más común

Tras la formulación del Problema de Monty Hall, se comprobó que, sin hacer ningún tipo de análisis probabilístico, la mayoría tiende a pensar que «da igual cambiar la elección o no». El argumento que emplea nuestro cerebro es que quedan dos puertas y, por tanto, tenemos el 50% de probabilidad de acertar y de fallar. Parece lógico, ¿no?

Pero estamos en un concurso, así que tenemos que decidir si nos quedamos con la primera puerta o cambiamos nuestra elección. Y como el premio puede estar en cualquiera de las dos, al final nos decidimos bien por confiar en nuestro primer impulso, bien por «jugárnosla» en el último momento.

Sin embargo, las matemáticas afirman que una de las dos opciones es mejor que la otra. Veamos cuál y por qué.

Análisis probabilístico del Problema de Monty Hall para todos los públicos

Vamos a intentar analizar el Problema de Monty Hall desde un punto de vista matemático, pero de manera que podamos entenderlo todos los mortales. ¡Incluso aquellos que no controlamos para nada de estadística y/o probabilidad! Así que, si buscáis un análisis más exhaustivo, os recomendamos que luego echéis un vistazo al trabajo de Batanero et al. (2009). Os lo dejamos por AQUÍ.

Volviendo al planteamiento del problema, la primera premisa es que hay un coche detrás de una de las 3 puertas (lo que estadísticamente se expresa como 1/3). Sabiendo esto, podemos decir que el concursante tiene un 33% de probabilidad de acertar en su primera elección. Eso significa que también hay un 66% de probabilidad de que el coche esté en alguna de las otras dos puertas.

Imagen extraída de Wikipedia

A continuación, el presentador abre una puerta en la que hay una cabra. Lo hace después de que el concursante haya elegido su puerta y sin revelar lo que hay detrás de la puerta elegida. Esto significa que podrían suceder dos cosas: que el concursante haya acertado a la primera (que haya elegido el coche), con lo que el presentador podría abrir cualquiera de las otras dos puertas y enseñar una cabra; o que el concursante haya elegido una puerta con una cabra, de manera que el presentador sólo podría abrir la otra puerta con la cabra.

Hasta aquí, ya podemos afirmar varias cosas: tenemos tres puertas, la probabilidad de que el coche esté detrás de una de ellas es de 33% (1/3) y la elección del concursante afecta a la puerta que abre el presentador. Esta última afirmación es el motivo por el cual se produce un cambio en las probabilidades. Una vez que el presentador abre la puerta con la cabra, se revela que no hay ninguna posibilidad de que haya un coche en esa puerta. Matemáticamente, diríamos que la probabilidad de que el coche esté en esa puerta, se vuelve cero.

Imagen extraída de Wikipedia

Pero seguimos teniendo 3 puertas, por lo que las probabilidades no se reparten entre las dos restantes, sino que se siguen repartiendo entre las 3. Esto significa que, después de descartar la puerta abierta, sigue habiendo un 33% de probabilidad (1/3) de que el coche esté en la primera puerta. Pero ahora hay un 66% de probabilidad (2/3) de que esté en la otra puerta que no ha sido elegida por el concursante ni abierta por el presentador. Visto así, parece ser que la mejor opción sería cambiar la elección inicial.

Para explicarlo de manera más gráfica, hemos hecho el siguiente esquema:

Esquema Problema de Monty Hall

Aquí vemos todas las posibilidades de elección que tiene el concursante. ¿Hay algo que llame vuestra atención?

Intuición vs. matemáticas

Si nos fijamos sólo en la última fila del esquema, sin tener en cuenta nada de lo que sucede entre la elección inicial y el resultado final, podría parecer que el concursante tiene la misma probabilidad de ganar una cabra que de ganar un coche. Dicho de otro modo: si no se realiza ningún tipo de análisis estadístico y nos guiamos sólo por la intuición, se cumpliría justo lo que comentábamos al principio. Es lo que la mayoría tiende a pensar: «da igual cambiar la elección o no» porque cuando quedan sólo dos puertas, hay 50% de posibilidades de que sea la cabra o el coche.

Pero no podemos fijarnos sólo en una parte de la realidad, ya que nuestro razonamiento estaría incompleto. De este modo, si miramos el esquema en conjunto, comprobamos que, lo que sucede entre la elección inicial y el resultado final, sí que afecta a las probabilidades de acertar. Si el concursante decide quedarse con la primera puerta que eligió, hay sólo una posibilidad de ganar el coche (1/3). Pero si, por el contrario, cambia su elección, tiene dos posibilidades de llevarse el premio (2/3).

Sabiendo todo esto, ¿qué haríais vosotros? 

Para escribir esta entrada, leímos bastante acerca del Problema de Monty Hall y encontramos algo que nos resultó muy curioso. Parece ser que, aún quedando demostrado que resulta más beneficioso cambiar la elección inicial, la mayoría de las personas que han respondido a la pregunta de Selvin en todos estos años, prefieren seguir su intuición. Y cuando leímos los comentarios sobre el «Dilema del papel higiénico» en nuestro Facebook, vimos que esta situación se cumple exactamente como dicen los estudios que hemos consultado. De hecho, uno de los comentarios decía, textualmente:

«Yo me dejaría llevar por mi primer impulso y me quedaría con la caja elegida aunque la probabilidad dice que es mejor cambiarla».

Imagen Comentario Facebook D20

Entonces, ¿cuál es la causa de este fenómeno?

Habría que entrar en otro tipo de estudios para tratar de determinar qué es lo que nos lleva a tomar estas decisiones, aunque eso ya sería material para otra entrada. Aún así, nosotros le hemos estado dando algunas vueltas y no queremos poner el punto final hoy sin compartir con vosotros nuestra reflexión respecto a todo esto que acabamos de escribir:

Imaginad que estáis concursando, que elegís una puerta y que, siguiendo la lógica matemática, cambiáis de puerta justo antes de descubrir el premio. Imaginad también que, en ese momento, aparece una cabra… ¿No sería de lo más decepcionante saber que habíais acertado inicialmente y la habéis pifiado en el último momento?

Podría ser que, pensar en tener el premio en nuestra mano y que, por un impulso de última hora, podamos perderlo, nos parezca peor que equivocarnos desde un principio y asumir las consecuencias. Aunque seguro que hay una explicación mucho más científica. ¡Si alguien puede desarrollarla, estaremos encantadísimos de seguir discutiendo el Problema de Monty Hall!

¡Hasta la próxima!

 

 

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